太仓市教育科学规划课题学期汇报表

（   2024 —   2025  年学年度第 二 学期）

课题主要研究成果：发表于省级重点期刊《中学数学教学参考》2024.6

指向数学文化育人的教学实践探索^①

——以“勾股定理”为例

江美红  陆红力

（江苏省太仓市实验中学  江苏省苏州市教育科学研究院）

摘 要：以“勾股定理”为例，以数学文化为主线开展课堂教学，让学生感悟数学知识的自然产生、必然形成，以及在此过程中体现精妙的数学思想方法和呈现美妙的几何图形与数式结构，培育理性精神，发展关键能力，形成正确价值观念。

关键词：数学文化；学科育人；教学实践；

《义务教育数学课程标准（2022年版）》[以下简称《课标（2022版）》]指出：数学在形成人的理性思维、科学精神和促进个人智力发展中发挥着不可替代的作用。^[1]《课标（2022版）》下的课堂教学以核心素养为导向，强调学科知识与核心素养的关联，探索发展学生核心素养的路径，注重数学知识与方法的层次性和多样性。数学作为一门理性科学和思维科学的学科，具有丰富的人文教育素材与资源。但是，目前初中数学课堂中存在忽视数学文化的渗透，或蜻蜓点水，未能真正发挥数学文化的价值。因此，教师需挖掘知识背后的数学文化，以数学文化为主线开展课堂教学，揭示数学背后的人文元素，以先哲的智慧和精神照亮学生的数学学习之旅，有助于学生理性思维、理想信念、情感态度、优秀品质的形成。下面笔者以执教的一节市级公开课“勾股定理”为例，阐述如何以数学文化为主线开展课堂教学，提高学生人文素养，培育学生的人文精神，发展学生的核心素养。

1 教材分析

现行教材中勾股定理的探究过程各不相同，各版本的探究过程如表1。人教版以数学史引出研究主题，苏科版、华东师大版、北师大版分别通过不同的生活情境提出问题，沪教版则以数学情境引入。除人教版以外，其他四个版本教材中勾股定理的探究过程采用从特殊到一般的研究思路，通过归纳、猜想结论，证明过程出现在阅读材料或习题中，人教版通过归纳、猜想得到命题，再进行证明。五种教材的探究思路都渗透数学史，但由于教材篇幅有限，探究过程的编写并不能完美的呈现。

表1 现行教材中勾股定理的探究过程

2.教学过程

2.1 创设情境，提出问题

问题1：如图1，这块地砖的图案由一些小正方形组成，若每个小正方形的边长为1，你能求出图中等腰直角三角形ABC斜边AB的长吗？

师生活动：学生根据三角形三边的不等量关系，猜测斜边AB的取值范围是0<AB<2。教师追问“斜边AB的长度确定吗？”学生从三角形确定性的角度进行思考，当Rt△ABC的两条直角边长确定时，它的形状和大小都确定，斜边长必确定，因此，学生猜想直角三角形三边之间必存在等量关系。

教学说明：创设古希腊数学家毕达哥拉斯发现勾股定理的情境，提高学生学习的兴趣，开门见山地提出本节课研究的问题，使学生快速进入学习状态，并为下一个问题的研究做铺垫。

2.2 设计活动，探究新知

问题2：直角三角形三边之间存在怎样的数量关系？

师生活动：面对问题2，学生不知如何入手。教师以问题启发学生，比如，“问题1中得出0<AB<2的依据是什么？”“任意三角形三边的一次式之间都存在不等量关系，那么强化条件后，直角三角形的三边之间会存在怎样的等量关系呢？”“由此你有何猜想？”等层层深入的问题串，让学生产生必然的思维，猜想直角三角形三边的平方之间可能存在等量关系。此时学生的思维得到激活，再由边长的平方联想正方形的面积，所以分别以直角三角形的三边为边向外构造三个正方形P，Q，R，形成如图2所示的毕达哥拉斯勾股图，通过计算得S_P=1，S_Q=1，S_R=2，所以三者之间的关系是S_P+S_Q=S_R。

教学说明：在真问题的驱动下学生提出猜想，经过一系列的联想自然生成毕达哥拉斯勾股图，此过程虽有一定的难度，教师要耐心引导。

问题3：上述结论是否具有一般性？

师生活动：学生画出直角边长分别为1和2的直角三角形，以直角三角形三边为边向外构造三个正方形P，Q，R（如图3），学生计算得S_P=1，S_Q=4，但在计算S_R时遇到困难。教师适时引导，学生生成以下三种不同的解法（如图4、图5和图6），分别利用平移、割、补的方法求得S_R=5，因此结论S_P+S_Q=S_R成立。学生再进行多次尝试，发现结论始终成立。

教学说明：此环节再次让学生感受毕达哥拉斯勾股图的生成过程，构造的是勾股图，是“形”的直观，具有的结论是“S_P+S_Q=S_R”，是“数”的刻画。从“形”的直观到“数”的刻画，意味着感性到理性的飞跃。至此，学生对“变中不变”问题的研究方法有了一个基本的认识。在计算S_R遇到困难时，教师需给予学生充分的时间进行探究交流，并鼓励学生多维度思考，实现一题多解。

问题4：猜想直角三角形的三边关系，并思考如何证明。

师生活动：通过以上探究，猜想结论“S_P+S_Q=S_R”成立，学生不难得到直角三角形三边的等量关系a²+b²=c²。探究证明过程时，教师可引导学生对以上探究进行一般化处理，将图4中的两条直角边用a，b表示（如图7），根据正方形ABCD的面积等于六边形EAHGCF的面积，可得a²+b²=c².教师再鼓励学生将图5或图6一般化，通过剪拼发现证明思路（如图8、图9）。教师指出：以上证明过程是将数学命题用简单、易于理解的几何图形来呈现，历史上称为“无字证法”，图8是3世纪我国汉代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出的证明方法，因此称为“赵爽弦图”。

教师继续追问“以上证明方法的本质是什么？”学生在平移、剪拼的操作中体会到前后图形面积不变性这一本质特征。教师再追问“还有其他证明方法吗？”学生联想证明乘法公式时采用的“面积法”，如图8，根据正方形ABCD面积的两种计算方法，可得，化简后即为a²+b²=c²，这是毕达哥拉斯最早提出的勾股定理证明方法。利用图9仿造此法，也可证明。最后，教师用图形语言、文字语言和几何语言总结勾股定理，并介绍定理名称的由来等数学史。

教学说明：图7的证明方法源于图4，让学生感悟由特殊到一般的思维过程，图8、图9的证明方法是在图7的启发下通过剪拼而得，构建“前后一致、逻辑连贯”的数学思维过程。在反思证明方法本质的过程中，又生成面积法证明勾股定理，学生感悟证明思路的多样性。此时，教师若介绍勾股定理的证明方法远不仅于此，会极大地激发学生的学习兴趣和求知欲。

2.3 应用新知，解决问题

问题5：如图10，已知，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=5，BC=12，求AB的长。

师生活动：学生利用勾股定理即可求解。教师引导学生对问题5进行变式，比如，“如图10，已知AC=5，AB=13，求BC的长。”或“已知AC+BC=17，AB=13，求AC的长。”等问题。

教学说明：问题5的教学让学生掌握勾股定理的应用，体会直角三角形三条边能“知二求一”，并渗透方程思想。教师需给予学生表达想法的机会，创造出更多的问题变式。

2.4问题延伸，拓展知识

问题6：通过直角三角形三边等量关系的研究，还有其他想法吗？

师生活动：学生提出问题“如果是锐角三角形或钝角三角形，三边还存在等量关系吗？”此时，教师鼓励学生沿着直角三角形三边等量关系的探究过程进行研究，在正方形网格中作出锐角三角形或直角三角形，再以三角形的三边为边向外作三个正方形（如图11、图12），通过计算三个正方形的面积探究三角形的三边关系。

教学说明：三角形有三种不同的类别，学生不难提出以上问题，类比直角三角形三边等量关系的探究过程，学生可自主进行锐角三角形或直角三角形三边关系的探究，通过小组合作交流得出猜想。

3教学反思

3.1基于数学文化背景，树立学习信念

德国著名教育家第斯多惠指出：课堂教学必须紧密结合人的天性和自然发展规律，这是一切课堂教学的最高原则。任何数学概念、公式、定理、思想都有其自然发生发展的过程^[2]，根据数学知识及其背后蕴含的数学文化，选择一些数学历史素材创设真实的情境，以史为鉴，确保课堂上每一种知识的产生自然而然、水到渠成，符合学生认知发展规律。本节课以毕达哥拉斯观察的正方形地砖为数学文化背景引入课题，在真实的情境中提出所要探究的问题，引发学生思考，让学生体会知识产生的自然性、合理性，激发学习兴趣，增强学习动机。同时，让学生感受古人创造的伟大，帮助学生树立积极向上的学习信念。

3.2 基于数学文化典例，培育理性精神

一个数学知识的发生和发展过程，往往是前人解决问题的探索过程。在整个探索过程中，学生在数学知识生长的结构和合适的思维场景中，产生思维的必然倾向，学生的价值观念也在思维背景下形成必然的逻辑系统、思想向往和行为倾向，两者会在和谐共振中产生双赢，帮助学生形成正确的价值观念。本节课中，学生沿着毕达哥拉斯发现勾股定理过程的历史脉络，像数学家一样通过独立思考、发现和提出问题，经历动手操作、自主探索、合作交流等方式分析和解决问题，在循序渐进、拾阶而上的探究过程中建构知识，体会数学知识发生发展过程的内在逻辑，增强数学学习的动机，促进对知识的深度理解，培养数学核心素养，培育理性思维。如图3中正方形R的面积求法，图8和图9的剪拼环节，学生会遇到很多困难，此时教师需引导学生积极思考，鼓励学生质疑问难，学生遇到的学习障碍可能和数学家当时遇到的困难具有历史相似性^[3]，教师可叙述数学家的困难、挫折和失败，激励学生要有坚持不懈的探究精神和创新精神，使学生获得探究问题的勇气，培养学生良好的学习习惯。

3.3 基于数学文化审美，提升学习品质

章建跃博士指出：发挥数学的内在力量，实现学科育人价值。无数数学家在探究发现数学定理或公式的过程中，留下了灵活、多样、精彩的数学思想方法，从中可以让学生感悟数学思想之美妙，提升学生的思维能力。本节课中，由三角形三边一次式的不等量关系联想三边的二次式可能会存在等量关系，由三角形边的二次式再联想以三角形的边为边长的正方形面积，体现了严谨的逻辑思维，让学生感悟化斜为直、特殊到一般、类比、数形结合、分类讨论等精妙的数学思想方法，感悟“前后一致、一以贯通”的数学思维，发展学生关键能力，培养学生优秀的学习品质，同时，构建了美妙的毕达哥拉斯勾股图和完美的勾股定理式结构，让学生感悟几何图形和数式结构的匀称与和谐之美，从而在剪拼过程中创造出完美的几何拼图，培养了学生创新思维能力，实现学科育人价值。

参考文献

[1]中华人民共和国教育部.义务教育数学课程标准（2022年版）[M].北京：北京师范大学出版社，2022.

[2]卜以楼.生长数学教学概论[M].西安：陕西师范大学出版总社，2022.

[3]汪晓勤，栗小妮.数学史与初中数学教学——理论、实践与案例[M].上海：华东师范大学出版社，2019.

* 江苏省“十四五”重点课题“以数学文化为主线的初中数学生长课堂整体建构实践研究”（课题编号：B/2023/03/139）的研究成果。