串点连线，一题多变
———
以
“
圆
”
的综合复习为例
?
广东省中山市第一中学 袁 蓉
圆是常见的几何图形之一
，
是进一步学习数学以及
其他学科的重要基础
．
小学阶段初步学习了圆的概念
，
初
中阶段系统地学习圆的概念和性质
，
高中阶段将继续学
习圆的方程
．
由此可见圆在几何学习中的重要性
．
圆的有关性质是进一步研究圆与其他图形关系
的主要依据
，
是学习 圆 的 基 础
．
近 年 来
，
圆 的 基 本 性 质
成为了广东 省 中 考 选 择 题
、
填空题或是解答题第
２４
题的高频考点
，
也成了日常教学的重难点
．
１
教学目标
本节课的教学任务是巩固圆中弧与角的关系
，
灵
活运用垂径定理及其推论解决圆的综合问题
．
具 体 教
学目标如下
：
（
１
）
进一步巩固圆的有关性质
；
（
２
）
探索 圆 的 性 质
，
实现直观感知和逻辑推理有
机结合
；
（
３
）
体会复杂为简单的转化思想
．
２
课堂探究
教师首先给出如下例题
，
让学生探究
．
例
１
⊙
Ｏ
为
△
ＡＢＣ
的外接圆
，
直 线
ＭＮ
与
⊙
Ｏ
相切于点
Ｃ
，
弦
ＡＢ
∥
ＭＮ
，
且弧
ＡＢ
是劣弧
．
（
１
）
你能用无刻度的直尺找到线段
ＡＢ
的 中 点
Ｄ
吗
？
请说明理由
．
设计意图
：
通过动手画图操作
，
培养学生的几何
直观素养
，
进一步巩固切线的性质和垂径定理
．
通过图
形性质的探究过程
，
实现直观感知和逻辑推理的有机
结合
．
师生活动
：
教师鼓励学生画图探究得出结论
，
并
说明理由
．
学生画图
，
如图
１
所示
．
图
１
图
２
（
２
）
延长
ＣＯ
交
⊙
Ｏ
于点
Ｅ
，
连接
ＥＡ
，
ＥＢ
，
请找出
图中相等的弧
、
弦和角
．
设计 意 图
：
强 化 同 圆 中 弧
、
弦
、
角 的 等 量 关 系
，
体
现垂径定理是圆的轴对称性的具体化
．
师生 活 动
：
学 生 画 图
（
如 图
２
），
根据图形口述答
题
，
教师进行补充或总结
．
（
３
）
连 接
ＯＢ
，
已 知
∠
ＡＥＣ
＝３０°
，
半 径 为
６
，
求 弦
ＡＢ
的长
．
设计意图
：
学会利用锐角三角函数解决圆中的弦
长问题
，
培养学生借助垂径定理将圆中求弦长问题转
化为解直角三角形问题的能力
．
图
３
师生活动
：
学生画图
（
如图
３
），
口述并说明理 由
，
教 师 进 行 引 导 或
补充
．
（
４
）
若
ＡＢ
＝８
，
ＯＤ
＝３
，
你能求
出图中哪些线段的长度
？
变式
：
若
ＡＢ
＝８
，
ＥＤ
＝８
，
你能
求出图中
⊙
Ｏ
的半径吗
？
设计意图
：
培养学生将圆中计算线段长度的问题
转化为解直角三角形的问题能力
；
培养学生借助方程
思想求解圆中线段长度的能力
．
师生活动
：
教师引导 学 生 探 究
，
发现圆中弦心距
、
弦长
、
半径可以知二 推 一
．
教师通过改变题设
，
引 导 学
生利用勾股 定 理
，
借 助 方 程 思 想
，
解决求圆的半径的
问题
．
３
课堂精炼
图
４
例
２
如 图
４
，
已 知
⊙
Ｏ
的半 径 为
６
，
ＰＡ
是
⊙
Ｏ
的 切
线
，
切 点 为
Ａ
，
连 接
ＰＯ
并 延
长
，
交
⊙
Ｏ
于 点
Ｂ
，
过 点
Ａ
作
ＡＣ
⊥
ＰＢ
交
⊙
Ｏ
于 点
Ｃ
，
交
ＰＢ
于点
Ｄ
，
连接
ＢＣ
，
当
∠
Ｐ
＝３０°
时
，
（
１
）
求弦
ＡＣ
的长
；
９８
争鸣探索
２０２３
年
７
月下半月
（
２
）
求证
：
ＢＣ
∥
ＰＡ
；
（
３
）
连 接 线 段
ＰＣ
，
ＡＢ
，
判 断 四 边 形
ＰＣＢＡ
的 形
状
，
并说明理由
．
设计意图
：
第
（
１
）
问熟练应用锐角三角函数解决
圆中求线段长 的 问 题
；
第
（
２
）
问强化学生对圆周角定
理及推论可以简便解决问题的认识
；
第
（
３
）
问 培 养 学
生的几何直观与逻辑推理能力
．
师生 活 动
：
学生展示解题过程
，
并口述解题思路
．
教师规范学生的几何语言和书写格式
，
体 现 几 何 学 习
的科学性和严谨性
．
图
５
例
３
如 图
５
，
⊙
Ｏ
是
△
ＡＢＣ
的外 接 圆
，
且
ＡＢ
＝
ＡＣ
，
点
Ｄ
在
弧
ＢＣ
上 运 动
（
不 与 点
Ｂ
，
Ｃ
重
合
），
过 点
Ｄ
作
ＤＥ
∥
ＢＣ
交
ＡＢ
的延长线于点
Ｅ
，
连接
ＡＤ
，
ＢＤ
．
（
１
）
求证
：
∠
ＡＤＢ
＝
∠
Ｅ
．
（
２
）
当点
Ｄ
运动到什么位置 时
，
ＤＥ
是
⊙
Ｏ
的 切
线
？
请说明理由
．
（
３
）
当
ＡＢ
＝４
槡
５
，
ＢＣ
＝８
时
，
求
⊙
Ｏ
的半径
．
设计意图
：
第
（
１
）
问强化学生对圆周角定理及推
论可以简便解决问题的认识
；
第
（
２
）
问培养学生的几
何直观能力
，
能够在动态问题中找到静止不变的位置
关系
；
第
（
３
）
问培养学生将等腰三角形问题转化为直
角三角形问 题
，
借助勾股定理列方程
，
解 决 求 圆 的 半
径的问题
．
师生 活 动
：
学生展示解题过程
，
并讲述解题思路
．
培养学生的语言表达能力
．
４
课后反思
４
．
１
动手实践
，
激发兴趣
对于初三的复习课
，
学生早已习惯了开门见山的
题海战术
，
尤其是第二轮专题复习
，
对 于 他 们 来 说 更
像是炒冷饭
．
那么
，
把已经学过的圆的知识推陈出新再
呈现给学生
，
激发其学习兴趣
，
让 课 堂 真 正 有 实 效 成
了本节教学内容的重难点
．
为了激发学生学习兴趣
，
并
考查其知识学习的灵活性
，
笔 者 另 辟 蹊 径
，
从 仅 用 无
刻度的直尺找出图中线 段
ＡＢ
的 中 点 开 始
，
通 过 学 生
动手操作
，
并解释其中蕴含的数学知识
，
很 好 地 发 展
了学生的几何直观素养
，
并与逻辑推理有机结合
．
４
．
２
一题多变
，
层层递进
以往的 专 题 复 习
，
通常都是针对中考知识的难
点
，
导致出现了班级中大 部分学生
“
陪 读
”
的 尴 尬 现
象
，
也就是说如果这节课太难了
，
对 大 部 分 学 生 来 说
其实是无效的
；
但对于班上少部分学生来说这样的能
力提升课又是很有必要的
．
因此
，
如何让各个层次的学
生都有收获
，
使课堂切实有效是本节课设计的核心
．
笔
者选择的思 路 是 一 题 多 变
，
层 层 递 进
，
就 像 带 着 孩 子
画素描一样
，
先确定轮廓
，
再定位五官
，
最后打磨细节
．
虽然不能让每个学生都画出精美的画卷
，
但 是 能 在 其
原有的学习基础上
，
有所收获也是值得的
．
笔者的设计
是以无刻度直尺作图开始
，
在所作的图形上添加一些
线段或是改 变 其 中 的 条 件
，
一点一点地扩充知识点
，
一层一层地加深难度
．
以此为线头
，
逐步牵出了与圆有
关的知识点
，
包括垂径定 理
、
圆 周 角 定 理
、
圆 的 切 线 的
判定与性质等与圆有关的线段
、
角
、
弧之间的数量关
系和位置关系
．
随着问题的不断展开
，
再结合特殊四边
形
、
锐角三角函数
、
勾股定 理
、
全等三角形和方程等知
识
，
探究以圆为背景的几何综合题中证明问题的常见
思路
、
计算问 题 的 常 用 方 法
，
同时渗透了解决数学问
题的转化思想和分类思想
．
４
．
３
课堂考查
，
目标明确
通过一题多变
、
层层递进的方式复习了圆的有关
知识点
，
接下来的课堂精练就可以选取中考真题并进
行二次加工
．
变式题所考查的内容应该是之前复习的
一题多变中不同问题组合在一起
，
或是图形进行了旋
转变换等变成一道综合题再呈现在学生面前
，
并 且 有
所提升和扩展
，
从而再一次强化和巩固这堂课的知识
和内容
，
加深学生的印象
．
４
．
４
课堂形式
，
灵活多变
根据教学内容设计的难易程度
，
课堂形式也可以
灵活多变
．
对于简单的知识点可以大家一起思考
；
对于
重要的知识点或易错的知识点可以由个别学生单 独
回答
、
其他学 生 纠 正 或 补 充
；
对于中等难度的题型可
以选择投影 展 示
，
由学生简单讲述解题思路
，
教 师 总
结或是补充 其 他 方 法
；
对 于 难 度 较 大 的 题 型
，
可 鼓 励
学生分组讨论
，
教师 巡 视 指 导
，
最 后 板 书 呈 现
．
板 书 的
优点是过程 详 细
，
解题过程完整保留
，
课 堂 还 没 有 跟
上思路的学生可以自己选择性补充
，
或是先抄下来再
课后研究
．
无论是哪种形式
，
都要给学生预留足够的独
立思考时间
．
专题课
，
想要学生学有所获
，
笔 者 认 为 所
有的内容还是应当在课堂上生成
，
而不是预留导学
案
，
最后变成名为专 题 课
、
实则是习题讲评课的情况
．
课堂上大家 一 起 讨 论
、
学 习
，
获得数学知识的喜悦和
成就感是不可替代的
．
Ｚ
