大单元教学视角下圆的复习课
———
例谈从变式探究到领悟数学思想方法
裴 姣
（
江苏省宜兴外国语学校
，２１４２００）
摘要
：
教师要充分挖掘知识间的联系与延伸
，
引导学生从解决一个问题中
，
发现处理
一类问题的方法
．
问题变式能由点及面带动学生思维
，
促进知识的结构化
．
掌握数学思想
方法
．
关键词
：
大单元教学
；
圆
；
问题变式
；
数学思想方法
《
义务教育数学课程标准
（２０２２
年版
）》
提到
：
数学课程内容不仅包括数学的结果
，
也
包括数学结果的形成过程和蕴含的数学思想
方法
．
大单元教学中
，
教师有必要让课程内容
情景化
、
结构化
，
注重知识的生长过程
，
让
学
生在变式探究中
，
深化认知
，
构建体系
．
知
识
形成过程中蕴含的思想方法
，
是发展学生高
阶思维品质的极好的材料
．
下面
，
笔者结合苏
科版九年级上册第二章
“
对称图形
———
圆
”
的单元复习
，
谈谈
大单元教学视角下的一点
教学实践和思考
．
一
、
内容分析
圆是初中数学
“
图形与几何
”
部分的内
容
，
也是在研究直线型图形性质和判定的
基
础上
，
进一步探索特殊曲线型图形的性质
［１
］
．
学生已有图形运动的基础
，
能借助圆的轴
对
称性及旋转不变性
，
来研究圆的主要性质
．
本
章内容分三部分
，
依次为
：
圆的有关
性
质
、
直
线与圆的位置关系
、
正
多边形和圆
．
而
图
１
是
圆的知识框架结构图
．
二
、
复习目标
（１）
通过对问题串的探究
，
巩固圆的相关
知识
，
让学生学会数学化思考问题
．
（２）
引导学生重视知识形成过程中蕴含
的数学思想方法
，
增强应用意识
，
发展思维品
质
．
图
1
三
、
教学过程
１
．
从点说圆
，
启发思维
，
感悟数学思想
环节
１
圆上一个点
问题
１
已知平面内一个点
Ａ
，
它和
☉
Ｏ
有哪几
种
位
置
关
系
？
你
是
怎
么
判
断
的
？
回
忆
点
和
圆
的
三
种
位
置
关
系
，
数
形结合
，
比
较
点
到
圆
心
的
距
离
与
半
径
的
数
量
关
系
，
引
导
学
生
感
受图
形
直
观
与
抽
象
数
量
紧
密
联
系
．
追
问
圆
中
哪
个
知
识点
也
有
类
似
的
判断
方法
？
类
比直
线
与
圆
的
位
置
关
系
，
前
后
知
识
方
法相通
．
环节
２
圆上
两
个
点
问题
２
点
Ａ
，
Ｂ
是
☉
Ｏ
上的两点
，
连结
ＡＢ
，
你能找
到
哪
些
量
？
环节
３
圆
上
三
个点
·２５·
第
２
期
初中数学教与学例１ 如图２，点
Ａ
，
Ｂ
，
Ｃ
是
☉
Ｏ
上的
三
点
，
问题
３ ∠
ＡＣ
Ｂ
＝
６
０
°
，
连
结
ＯＡ
，
求
∠
ＯＡＢ．
A
B
O
C
图
2
意图说明
同圆或等圆里
，
圆周角大小
确定时
，
它所对的弧
、
圆心角的大小
便
确
定
，
“
同弧
”
是实现角与角转换的关键
．
让
学
生
建
立起圆周角
、
圆心角
、
弧之间密切关联的思想
意识
，
清除
“
曲
”
与
“
直
”
的形状障碍
，
感悟转
化的巧妙
．
问题
４
在问题
３
的条件下
，☉
Ｏ
的半径
为
４，
（１）
求弦
Ａ
Ｂ
的
长
；
（２）
求弧
Ａ
Ｂ
的
长
；
（３）
若点
Ｃ
是
☉
Ｏ
上点
Ａ
，
Ｂ
之间优弧上
的一个动点
，
求
△
ＡＢＣ
面积的最大值
．
思路启发
方法
１：
构
造
直
径
，
构
造
９
０
°
的圆周角
．
方法
２：
紧扣圆
的
轴
对
称
性
，
作
弦
心
距
．
意图说明
一题多解
，
发散学生思维
，
其
本质还是构造直角三角形
，
引导学生分析
题
目满足的原始条件
，
进一步
体
会
模
型
思
想
．
问题
５
如图
３，
弦
Ａ
Ｂ
＝
２，
点
Ｐ
在
Ａ
Ｂ
上
移动
，
连结
ＯＰ
，
过
点
Ｐ
作
ＰＣ
⊥
Ｏ
Ｐ
交
☉
Ｏ
于
点
Ｃ
，
求
ＰＣ
长的最
大
值
．
思路启发
半径是圆中常用的辅助线
，
连结
ＣＯ
，
由勾股
定
理
知
Ｐ
Ｃ
＝
ＣＯ
２
－
Ｏ
Ｐ
２
，
观察等式结构
，
Ｃ
Ｏ
是
定
值
，
当
ＯＰ
最
小
时
Ｃ
Ｐ
最
大
，
问题转化为求
ＯＰ
的最小值
．
意图说明
几何最值问题是学生的知识
难点
，
主要由于他们无法确定动点的极值位
置
．
教学中要鼓励学生动手操作
，
多画几个动
点的位置
，
观察比较
，
寻找灵感
，
通过独立
探
究
，
培养数形结合思想及解决问题的能力
．
A
O
C
图
3
P
B
A
O
C
图
4
D
B
E
２
．
以直线切圆
，
积累经验
，
体会数学思想
例
２
如
图
４，
ＡＢ
是
☉
Ｏ
的直径
，
点
Ｅ
在
ＢＡ
的延长
线
上
，
Ｅ
Ｃ
，
ＥＤ
与
☉
Ｏ
相切
，
切
点分
别
为
Ｃ
，
Ｄ．
若
ＡＢ ＝
６，
ＥＣ
＝
４
，
问题
６
求
ｓｉｎ∠
ＣＢ
Ｄ
．
思路启发
圆与双切线问题
，
常以圆的
轴对
称
性
为
切
入
点
．
连
结
Ｃ
Ｏ
，
Ｄ
Ｏ
，△
Ｅ
ＣＯ
和
△
ＥＤ
Ｏ
全等
．
结
合
图
形
特
点
，
把
∠
Ｃ
Ｂ
Ｄ
转
化
为
∠
ＣＯ
Ｅ
，
在
Ｒｔ△
ＣＯＥ
中
，
求出
∠
Ｃ
Ｏ
Ｅ
的
正
弦
值
即可
．
意图说明
本题从转化出发
，
根据
“
相等
锐
角
的
正
弦
值
也
相
等
”
，
把
问
题
转
化
为
求
ｓ
ｉｎ
∠
Ｃ
Ｏ
Ｅ．
转
化
使
问
题
变
得
巧
妙
，
数
学
魅
力
彰
显
，
转
化
思
想
值
得
大
家
借
鉴
．
问
题
７
若
∠
Ｃ
Ｅ
Ｄ
＝
８
０
°
，
点
Ｐ
是
☉
Ｏ
上
除
Ｃ
，
Ｄ
外
的
一
点
，
求
∠
Ｃ
Ｐ
Ｄ
的
度
数
．
思
路
启
发
如
图
５
，
让
学
生
画
点
Ｐ
的
位
置
，
从
对
点
Ｐ
位
置
的
探
究
中
，
发
现
∠
ＣＰ
Ｄ
大
小
有规律可循
，
分
Ｐ
在
劣
弧
上
和
优
弧
上
两
种
情
况
．
在
四
边
形
ＥＣＯＤ
中求出
∠
ＣＯＤ
，
就可求两
类
圆
周
角
．
意
图
说
明
理
性
审
题
，
敏
锐
捕
捉
条
件中
的
隐
含
信
息
，
注
意
∠
Ｃ
Ｐ
Ｄ
的
两
种
情
况
缺
一
不
可
，
体
会
分
类
讨
论
的
必
要
性
．
A
O
图
5
B
图
6
B
C
P
1
P
2
E
D
A
O
C
E
D
G
F
问题
８
如图
６，
过点
Ｂ
作
ＢＧ
⊥
ＥＣ
，
垂足
为
Ｇ
，
ＢＧ
与
☉
Ｏ
相交
于
点
Ｆ
，
连结
ＣＦ．
（１）
求
证
：
ＢＣ
平分
∠
ＥＢＧ
；（
２）
求
Ｃ
Ｆ
的长
．
·２６·
初中数学教与学
２０２３
年
思路启发 （１） 问先连结 ＣＯ，可由等腰
三角形和平行线推出角平分线
，
这个固定搭
配很常见
．
（２）
问
方
法
很
多
，
选
取
一
种
解
题
思
路如下
：
连结
Ｃ
Ｏ
，
Ａ
Ｆ
交
于
点
Ｈ
，
先
证
得
矩
形
ＣＨＦＧ
，
再由
△
ＡＨ
Ｏ
∽
△
ＥＣ
Ｏ
且
相
似
比
是
３
∶
５，
求出
ＡＨ
和
ＯＨ
，
最
后在
Ｒｔ△
ＣＨＦ
中
，
用勾股
定理求得
Ｃ
Ｆ
的
长
．
意图说明
圆与它的切线组合出现时
，
垂直是首要的位置关系
，
充分挖掘图形中的
模型元素
，
构造出平行线
，
直角三角形
，
相似
三角形等熟悉图形
，
凸显未知量在
图
形
中
的
地位
，
让问题有图可依
．
通过教学
，
发
展
学
生
几何直观
，
感悟模型思想
．
问题
９
例
３
如图
７，△
ＡＢＣ
中
，
ＡＢ
＝
ＡＣ
，
Ａ
Ｄ
⊥
Ｂ
Ｃ
垂
足
为
Ｄ
，
ＢＣ
＝
１６
，
Ａ
Ｄ
＝
６，
求
△
Ａ
ＢＣ
的
外
接
圆
圆心
Ｍ
与内
切
圆
圆
心
Ｇ
之间
的距离
．
思路启发
清晰概念才能画出正确的图
形
，
如图
８，
让
学
生
说
一
说
内
心
、
外
心
概
念
，
证
一证
Ａ
，
Ｇ
，
Ｄ
，
Ｍ
四
点
共
线
．
启
发
学
生
可
在
Ｒｔ△
Ｂ
Ｄ
Ｍ
中
，
求
三
角
形
外
接
圆
半
径
，
可
把
△
ＡＢ
Ｃ
分割成三个等高三角形的和
，
求三角形
内切圆半径
．
A
A
C
D
B
C
D
B
M
G
图
7
图
8
意图说明
内心和外心是容易混淆的两
个概念
，
求多边形内切圆半径
，
是将多边形分
割或补形成几个三角形的和或差
，
借助整体
思想建立方程求解
．
本题蕴含了方程思想和
整体思想
，
突出概念理解和画图的重要性
．
３.
知识整合
，
提升思维运用数学思想
问题
１０
例
４
如图
９，
以点
Ｅ
（
－
１，０）
为
圆心的圆
，
交
ｘ
轴于
Ａ
与
Ｂ
两点
，
交
ｙ
轴于
Ｃ
与
Ｄ
两点
，
ＣＤ ＝
２ ３ ，
将
△
ＡＢＤ
绕点
Ｅ
旋转
１８０
°
得到
△
ＱＡＢ．
（１）
直接写出
Ａ
，
Ｂ
两点坐标
．
（２）
请在图中画出线段
ＱＡ
，
Ｑ
Ｂ．
点
Ｐ
是线
段
Ｑ
Ｂ
上
一
动
点
（
不
与
端
点
重
合
）
连结
Ａ
Ｐ
，
Ｍ
是
Ａ
Ｐ
中
点
，
过
点
Ｐ
作
ＰＧ
⊥
Ａ
Ｂ
与点
Ｇ
，
连
结
ＭＱ
，
Ｍ
Ｇ
，
求
∠
Ｑ
Ｍ
Ｇ
的
度
数
．
A
C
D
B
O
E
x
y
图
9
A
C
M
B
O
E
x
y
G
P
Ｑ
D
图
10
思
路
启
发
如
图
１
０
，
本
题
可
关
注
两
方
面
，
其
一
，
挖
掘
题
中
几
何
关
系
，
发
现
∠
Ａ
Ｄ
Ｂ
＝
９
０
°
，
∠
Ａ
Ｂ
Ｄ
＝
６
０
°
，
旋
转
后
对
应
角
的
大
小
保
持
不
变
；
其
二
，
发
现
△
Ｑ
Ａ
Ｐ
与
△
Ｇ
ＡＰ
是
有
公
共
斜
边
的两个直角三角形
，
联想到四点共圆
，
点
Ａ
，
Ｇ
，
Ｐ
，
Ｑ
都在以
ＡＰ
为直径的
☉
Ｍ
上
，
随着点
Ｐ
的
运
动
，
☉
Ｍ
的
圆
心
位
置
和
半
径
大
小
都
在
变
，
但
不
变
的
是
圆
周
角
∠
Ｑ
Ａ
Ｇ
的
度
数
，
最
后
根
据
∠
ＱＭ
Ｇ
＝
２
∠
Ｑ
ＡＧ
得
解
．
意
图
说
明
本
题
是
动
点
问
题
，
综
合
考
查
了勾股定理
、
锐角三角
函
数
、
圆
等
知
识
，
对学
生综合能力要求较高
．
动
点
问
题
需
在
运
动
中
分析
，
找到动态元素的规律
．
题中的隐形圆就
是所有动态条件的目标
，
圆中有圆
，
最终回归
到基本的边角关系
．
本题综合运用了方程思
想
、
数形
结
合
思
想
、
化归思想等
．
四
、
教
学
感
悟
１.
熟悉基本图形
，
构造几何模型
圆是特殊的曲线型图形
，
常结合直线型
图
形
考
查
，
从
而
综
合
性
高
，
图
形
构
成
丰
富
．
添
加
辅助
线
能
使
题
目
条
件
聚
拢
，
指
向
明
朗
化
，
构
造出等腰
、
直角
、
相似三角形
、
特殊四边形等
基础图形
，
突破了解题的局限性
，
凸显了解题
的途径
．
引导学生注重方法
、
经验的积累
，
做
到
“
眼里有图
，
心里有法
”，
在纷繁复杂的图形
情境中
，
不
断
锤
炼
与
提
升
解
决
问
题
的
能力
．
２
.
紧
扣
知
识
关
联
，
转
化
促
进
解
题
（
下
转
第
１８
页
）
·２７·
第
２
期
初中数学教与学探究三条线段之间的关系，有助于学
生调动
已有知识
、
方法和模型解决未知
问
题
．
２
．
一图一题一课类比迁移
，
发
展
“
四能
”
《
义务教育数学课程标准
（２０２２
年版
）》
要求
，
发展学生发现问
题
、
提
出
问
题
、
分
析问
题和解决问题的能力
．
类
比
迁
移
是
生
活
中
发
现问题
、
提出问题
、
分析问题和解决问题的常
用方法
，
也是数学学习的重要思想方法之一
．
“
一图一题一课
”
的初中几何复习教学模式注
重引导学生从简单的图形开始
，
通过类比迁
移
，
探究图形结构特
征
，
有
助
于
学
生
积
累
活
动
经验
、
发展
“
四能
”
．
由
此
，
提
出
以
下
三
点
建
议
：
一是类比迁移应重视基础知识的积累
．
俗
话
说
：“
巧妇难为无米之炊
”，
缺少必要的基础知
识和基本思想方法的沉淀
，
学生难以有效识
别模型
，
快速找准方法
．
本节课开始
，
教师引
导学生思考关于
“
取值范围
”
你能想到什么
？
对于
“
中点
”
你有什么合理的处理方法
？
这
些
问题都是在帮助学生回顾相关基础知识
．
二
是重视方法的类比迁移
，
类比迁移不只是
知
识的简单复制
，
而是思想方法的触类旁通
．
本
节课在探究图形旋转过程中
，
教师就引导学
生运用问题
２
中的方法来解决图形变化中较
难问题
．
三是类比迁移应重视创新思维的培
养
．
３．
一图一题一课模型
，
提升核心素养
数
学
核
心
素
养
是
指
具
有
数
学
基
本
特
征
的
、
适
应
个
人
终
身
发
展
和
社
会
发
展
需
要
的
人
的思维品质与关键能力
［４
］
．
本
节
课
，
教
师
首
先
引
导
学
生
典
例
回
顾
，
感
知
模
型
；
然
后
探
究
总
结
，
建
立
模
型
；
最
后
类
比
迁移
，
运
用
模
型
．
在
培
养
学
生
分
析
图
形
基
本
结
构
的
教
学
过
程
中
，
教
师
引
导
学生
立
足
于
基
本
概
念
、
定
理
，
通
过
逻
辑
推理
，
探究问题本质
，
发展学生的几何直观
，
培养学生的抽象能力
，
尽力去探究和确
立
已
经
获
得
知
识
的
最
深
刻
和最完美的内涵
［５
］
，
进
而提
升
学
生
核
心
素
养
．
参
考
文
献
［１
］
葛
淑
娴
．
类比思想在初中数学解题中的应用
［ Ｊ］．
读写
算
，
２０
２１
（
１７
）：
９１
－
９２
．
［２］
教
育
部
．
全
日
制
义
务
教
育数学课程标准
（２０２２
年版
）
［Ｓ］．
北京
；
北京师范大学出版社
，２０２２．
［３］
吴
立
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． “
一
题
一
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理
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［Ｊ］．
江苏教育
（
中
学
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）
，２
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（
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２６
－
２８
．
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２０
１７
（０
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：３
５
－ ３
７．
［５］Ｍ．
克莱因著
，
张祖贵
，
译
．
西方文化中的数学
［Ｍ］．
上
海
：
复旦大学出版社
． ２００４．
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