学科育人导向下
问题驱动式单元复习课教学实践与思考
——
—
以苏科版九年级上册“圆”单元复习课为例
熊 俊 江苏省南京江北新区浦口外国语学校
210031
［摘 要］“如何发挥学科育人价值”是教育工作者当前迫切需要思考的问题，也是对教育本
真的不懈追求
.
现结合一节“圆”单元复习课的问题设计和课堂教学实例，探究如何
通过问题驱动式课堂教学创设新的复习课生态，让学生在数学课堂中获得生长，从
而达到数学学科育人的目的
.
［关键词］学科育人；问题驱动；单元复习课
图1
B
D
C
O
A
图2
B
D
C
O
A
>
课例评析
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6
月
（
中旬
）
所示）
.
师：有哪些发现？
生
2
：两条平行弦所夹的弧相等；
（垂径定理）垂直于弦的直径平分弦
且平分这条弦所对的两条弧
.
师：你知道垂径定理和圆的什么
属性有关吗？
生
3
：轴对称性，直径是圆的对
称轴
.
师：平行弦所夹弧相等又如何证
明呢？
生
4
：根据图
1
，我们可以连接
BC
，
因为
AB
∥
CD
，所以
∠
ABC
＝
∠
BCD
，
所以
AC
＝
BD .
师：由
∠
ABC
＝
∠
BCD
得到
AC
＝
BD
的依据是什么？
生
5
：我认为由
∠
ABC
＝
∠
BCD
不
能直接得到
AC
＝
BD
，应根据“同弧
所对的圆周角是圆心角的一半”先
得到圆心角相等，然后由“三量关系
定理”才能得到弧相等
.
师：能具体说说“三量关系定
理”吗？
生
5
：在同圆或等圆中，等弧、等
弦、相等的圆心角可以互相转化
.
师：
“三量关系定理”和圆的什
么属性有关呢？
生
6
：圆的旋转不变性
.
师：异侧的情况可以类似地证明
.
（此时教师完成板书
1
）
师：在圆中画两条弦，还有不同
的画法吗？
生
7
：我画了两条特殊的相交弦，
它们组成了一个圆周角，圆周角是
圆心角的一半
.
师：这是圆周角定理，还有补充吗？
生
8
：同弧或等弧所对的圆周角
都相等
.
比如，我们再画几个同弧所
对的圆周角
∠
A
1
，
∠
A
2
，
∠
A
3
，因为都
是圆心角
∠
O
的一半，所以都相等
.
师：若是同弦所对的圆周角还保
持这样的特性吗？画一画
．
生
9
：同弦所对的圆周角分为上、
下两个，同侧的圆周角都相等，但异
侧的圆周角是互补的关系
．
师：大家看，在思考构图问题
时，我们常常需要分类讨论
．
那么同
弦所对的两侧的圆周角互补是如何
得到的呢？
生
10
：圆内接四边形对角互补
．
师：你能证明“圆内接四边形对
角互补”吗？
生
10
：还是根据圆周角定理，将
两个圆周角转化到圆心角正好拼成
360
°
，圆周角是圆心角的一半，即
180
°
.
（此时教师完成板书
2
）
师：还有其他想法吗？
生
11
：如果弦
AB
是直径，连接
BC
，
AC
，那么
∠
ACB
是直角，因为直
径所对的圆周角是直角
．
师：特殊的弦对着特殊的圆周
角
.
反过来也成立，即
90
°
的圆周角
所对的弦是直径
.
（此时教师完成板书
3
）
师：画两条弦，除了考虑位置关
系还能想到什么呢？
生
12
：数量关系
.
师：若是两条相等的弦呢？
生
13
：若是两条相等的平行弦，
连接
AC
，
BD
，我们可以得到一个矩形
.
师：大家想想如何证明
.
生
14
：如图
7
所示，根据
AB
＝
CD
得
AB
＝
CD
，由
AB
∥
CD
得
AC
＝
BD
，相
图3
P
D
C
O
A
B
图4 板书1
B
D
C
O
A
B
D
C
O
A
B
D
C
O
A
P
垂径定理
（轴对称性）
等弧
圆心角
等弦
平分弦
平分弧
弦与圆
图5 板书2
三量关系定理
（旋转不变性）
垂径定理
（轴对称性）
弦与圆
圆周角定理
∠
A
1
=
∠
A
2
=
∠
A
3
= 1
2
∠
O
∠
A
1
+
∠
D=180
°
∠
A
2
+
∠
D=180
°
∠
A
3
+
∠
D=180
°
B
D
C
O
A
1
A
2
A
3
三量关系定理
（旋转不变性）
>
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月
（
中旬
）
<
加得到
ACD
＝
ABD
，也就是半圆，于是
∠
C
＝
∠
B
＝
90
°
.
同理可证
∠
CAB
＝
∠
CDB
＝
90
°
.
于是
ACDB
为矩形
.
图7 等弦平行
B
D
C
A
O
师：若是两条等弦相交呢？又有
什么发现？
生
15
：类似于等弦平行，如图
8
所示，可得
BC
＝
AD
，于是
∠
CAB
＝
∠
ACD
，根据等角对等边得到
AP
＝
CP
，
PB
＝
PD.
D
C
A
P
O
B
图8 等弦相交
生
16
：如图
8
所示，连接
OA
，
OC
，
由
OA
＝
OC
和
AP
＝
CP
可以证明
OP
所在
直线垂直平分
AC
和
BD
，是整个图形
的对称轴
.
生
17
：相互垂直是特殊的相交，
前面的结论都成立
.
师：大家再仔细看看，这里藏了
“一线三垂直”的基本图形，但它们
并不是全等哦（如图
9
所示）
.
图9 等弦垂直
D
C
A
P
O
B
师：如果把弦看作圆的内接线段，
那么这条弦所在的直线与圆有什么
关系呢？
生
18
：这条直线与圆相交
.
师：直线与圆还有什么关系呢？
生
19
：根据圆心与直线的距离
d
和半径
r
来判断
.
当
d
＜
r
时，直线与圆
有两个交点，直线与圆相交；当
d
＝
r
时，直线与圆只有一个交点，直线与
圆相切；当
d
＞
r
时，直线和圆没有交
点，直线与圆相离
.
（教师此时完成板书
4
）
师：在直线与圆的位置关系中，
哪一种情况最特殊？具体说一说
.
生
20
：相切最特殊
.
若直线与圆
相切，则圆心与切点连接的半径与
直线垂直；若直线与圆相交的一点
与圆心连接的半径与直线垂直，则
圆与直线相切
.
生
21
：过圆外一点
P
作圆的切线
两条，且切线长相等
.
师：在切线长定理的基本图形中，
你还有哪些发现？
生
22
：
OP
是
∠
APB
的平分线
.
生
23
：
OP
垂直平分
AB
，由
PA
＝
PB
，
OA
＝
OB
，以及垂直平分线判定定
理可证
.
生
24
：再添一条切线，会出现三
图6 板书3
圆周角定理
∠
A
1
=
∠
A
2
=
∠
A
3
= 1
2
∠
O
∠
A
1
+
∠
D=180
°
∠
A
2
+
∠
D=180
°
∠
A
3
+
∠
D=180
°
B
C
O
A
B
C
O
D
A
1
A
2
A
3
AB
是直径
←→∠
C=90
°
图10 板书4
d<r
相交
d=r
相切
d>r
相离
直线与圆 弦与圆
图11 板书5
O
B
D
C
P
A
F
OP
垂直平分
AB
，
OP
平分
∠
APB
直线与圆 弦与圆
三角形与圆
切线的性质定理：
因为
PA
与
⊙
O
相切于点
A
，
所以
OA
⊥
PA.
切线的判定定理：
因为点
B
在
⊙
O
上，
OB
⊥
PB
，
所以
PB
与
⊙
O
相切于点
B.
A
B
C
O
三量关系定理
（旋转不变性）
垂径定理
（轴对称性）
弦与圆
>
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6
月
（
中旬
）
角形的内切圆，可以用等积法求内
切圆的半径
.
师：三角形与圆还有其他关系吗？
生
25
：还有内接三角形与外接圆
.
师：不妨连接三个切点，
⊙
O
就
成了
△
ABF
的外接圆了
.
内接三角形
ABF
的内角与谁有关？
生
26
：内接三角形的内角是外接
圆的圆周角，所以
∠
AFB
＝
1
2
∠
AOB.
根
据切线的性质定理得
∠
APB
＋
∠
AOB
＝
180
°
，所以
∠
AFB
＝
1
2
（
180
°－
∠
APB
）
.
师：与圆有关的图形，最简单的
是“点”，然后有直线、三角形、四边
形、正多边形等
.
几何图形之间的
关系紧密，解决图形问题时要多关
联相关图形
.
比如三角形隐藏的外
接圆
.
（此时教师完成板书
5
）
师：至此，我们建立了圆内外相
关元素之间的关联体系
.
大家可以
看到：图形万般变化皆归一个系统，
问题不尽相同方法皆能统一
.
例题
如图
12
所示，在
△
ABC
中，
AB
＝
AC
，以
BC
为直径的
⊙
O
交
AB
，
AC
分别于点
D
，
E.
求证：
DB
＝
CE.
图12
O
B
D
C
E
A
【
设计意图
】
在复习课章节知识体系建立完
成的基础上，设计例题并借用本章
知识解决
.
本题要证明的是
DB
＝
CE
，
可以从不同视角入手：若定位为等
弦，则可以关联转化到圆心角、等
弧、圆周角等圆内部元素来思考；若
定位为等线段，则可以联系到全等
或等角对等边；若能想象到切线长，
则可以挖掘隐圆条件
.
通过对证明
对象不同定位，让学生再一次亲历
分类与转化，让数学思想方法内化
于心
.
这样一道例题包罗万象，却又
万法归宗
.
【
教学实施
】
师：对于
DB
，
CE
你是如何定位
的？又如何证明它们相等？
（学生独立思考、探寻证法，教
师巡视、捕捉生成性资源）
生
27
：如图
13
所示，因为
AB
＝
AC
，
若能证明
AD
＝
AE
，就可以得到
DB
＝
CE.
连接
DE
，形成圆内接四边形
BDEC
，
得
∠
B
＝
∠
AED
，
∠
C
＝
∠
ADE.
根据
AB
＝
AC
以及等边对等角可得
∠
B
＝
∠
C
，再
由等量代换推得
∠
ADE
＝
∠
AED
，所
以
AD
＝
AE.
图13
O
B
D
C
E
A
生
28
：如图
14
所示，因为
AB
＝
AC
，所以
∠
B
＝
∠
C
，可证
CED
＝
BDE
，
进一步得
BD
＝
CE.
由弧等可得弦等，
所以
DB
＝
CE.
图14
O
B
D
C
E
A
生
29
：利用三角形全等证明
.
如
图
15
所示，连接
BE
，
CD
，由
BC
是直径
得
∠
CDB
＝
∠
BEC
＝
90
°
，结合
∠
B
＝
∠
C
和
BC
＝
CB
，得
Rt
△
BCD
≌
Rt
△
CBE
，
所以
BD
＝
CE.
图15
O
B
D
C
E
A
生
30
：根据圆心角相等可得弦
等
.
如图
16
所示，连接
OD
，
OE
，得到
等腰三角形
BOD
和等腰三角形
COE.
由
AB
＝
AC
可得
∠
B
＝
∠
C
，再根据三角
形内角和的性质得圆心角
∠
BOD
＝
∠
COE
，所以
BD
＝
CE.
图16
O
B
D
C
E
A
生
31
：如图
17
所示，过点
O
作
OH
⊥
AB
于
H
，作
OF
⊥
AC
于
F.
根据
AB
＝
AC
，
O
是
BC
的中点，易证
AO
是
∠
BAC
的平分线，于是
OH
＝
OF.
以
O
为圆心、
OH
为半径作小
⊙
O
与
AB
，
AC
相切于点
H
，
F
，由切线长定理可
得
AH
＝
AF
，于是
BH
＝
CF
，再根据垂径
定理可得
2BH
＝
2CF
，即
BD
＝
CE.
图17
O
D
H
C
F
A
B
E
生
32
：在图
17
中，也可以先证明
Rt
△
BOH
≌
Rt
△
COF
，于是
BH
＝
CF
，
再利用垂径定理得到
2BH
＝
2CF
，即
BD
＝
CE.
学科育人导向下问题驱动式单
元复习课的实践思考
1.
坚持育人导向
，
让学习真正
发生并经历
学科教学是育人主阵地，作为
基础学科的数学，绝不应该仅仅是
传递知识的载体，应以其独特的学
科特点担负起学科育人的使命
.
但
长期以来，数学学科具有严谨的逻
辑体系和高度的理性精神，部分教
师一直以传授知识为目的，甚至理
解为培养学生的解题能力，忽视了
学生对数学学科完整性的体验，必
然不能培养学生良好的数学情怀，
导致数学失去了教育价值和育人本
质
.
在以学科育人为导向的问题驱
动式教学理念下，本节课设计了“在
圆中画两条弦”的明线主问题，既能
>
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月
（
中旬
）
<
（
2
）评价教师的教学效果
教师在教学后需要监督学生作业订正，修改教学进
度和计划，并完成量表的自测（如表
11
所示）
.
对于课后习题中的难题，教师录制了微课，同时第二
次修改了教学设计，并对教学内容进行了调整，引入了学
习平均数的必要性，帮助学生更好地理解数学内部发展
需要
.
同时，教师还将整节课的重要环节录制了微课，入
选了市微课，对平均数的教学进行了推广
.
综合分析之下，本次“平均数”的教学效果较好地落
实了教学目标
.
需要进一步深化研究
本研究通过背景、投入、过程、结果四个环节给出了
具体的评价方案，体现了
CIPP
模型对于网络课堂的实用
性和可操作性，也利用该模型进行了课堂评价实例，力求
体现“指标指向评价多样化，重视学习态度”“测评手段重
视现代化，大数据结果精准”“测评提升教学有效性，改进
教学策略”等优势
.
CIPP
模型对于现行的教学评价模型具
有一定的参考价值，其也可以推广到对其他学科进行教
学测评
.
然而，
CIPP
模型还有不成熟和不完善的地方，比如对
教师的评价更多地偏向于主观意识评价，难以和定量评
价达成一致；背景评价中也存在学生只需要填写选项，可
能行动落实仍不够的缺陷
.
换言之，模型还有待进一步精
练
.
基于
CIPP
的数学网络课堂教学评价还需要在不断的
应用中进行完善和修改
.
项目 内容
指标
（
1
代表不符合
，
2
代表基本符
合
，
3
代表比较符合
，
4
代表很符合
）
教师教
学效果
测评
监督学生批改订正
修改教学设计
修改教学内容安排
完成教学推广
表11 教师教学效果自测
引导学生回顾圆的相关知识，又能
引领学生经历基本图形的形成过
程，感受图形结构的变化，让学生的
思维和知识共同成长出来！同时，本
节课还埋进了“分类”“转化”以及
“特殊与一般”数学思想方法的暗
线，学生思维的生长离不开数学思
想方法的内化，在数学学习中体悟
到数学思想方法，能让学生产生获
得感，从而促进学生思维大步成长
.
这样的明暗双线在课堂中给学生进
行研究活动留足了时间，也给予了
学生不同程度的思维发展空间
.
这
样的每一个学生都能思考的课堂方
有一种思维生长的活力和生命成长
的张力
.
2.
让复习课在循环中不断重设
开端
如何创新复习课教学，特别是
中考复习课？笔者认为，创新复习课
教学就是打破机械重复，需要教师
研究教材，智慧整合教学资源，在复
习课新一轮次的循环中创新故事的
开端，让复习课带给学生“生生不
息”的生命成长体验感
［
2
］
.
就本节课
来说，通过“圆与两条弦的组合构
图”的想法给学生一次“重生”的学
习体验，而不是刚刚开始就看到结
局的乏味
.
在“不同以往”的设计中，
让学生耳目一新，潜移默化地引导
学生面对问题时可以通过不同角度
去思考，无形中也渗透了创新能力的
培养，这将学生从数学课堂引进了更
高更远却很贴近生命成长的地方
.
3.
捕捉生成性资源
，
促动学生
思维生长
问题驱动式教学的目的是将教
师本位转变成学生本位——
—
以学定
教，教师作为问题的提出者、课程的
设计者以及结果的评估者，利用问
题驱动课堂发展，利用学生即时生
成性资源促使课堂生长，建立一种
以学生为主体、以专业领域内的各
种问题为学习起点、以问题为核心
规划学习内容的课堂，使得学生人
人能够参与其中，不同的学生获得
不同程度的发展
.
在这样的课堂中，
学生即时生成性资源是串联课堂的
关键，教师要及时捕捉这些生成性
资源，甄别有效的生成性资源，灵活
利用生成性资源，促使课堂高效发
展和学生思维快速成长
.
在这样的
课堂中，教师要多关注师生互动交
流、生生互动交流，需要教师充分发
挥教学智慧组织引导
.
4.
雕刻板书设计
，
构建知识生
长脉络
问题驱动式教学下学生人人有
所思考，教师可以利用多媒体呈现
不同的生成性资源，这些丰富各异
的生成性资源是学生的学习经历，
从“指剑乱舞”“思维发散”到建立紧
密知识体系的过程需要雕刻一张结
构化的板书来让学生摸清知识生长
脉络，就好比大家各自将不同的思
维板块拼在一起最终组成一幅绝美
的画卷，每频回眸，一目芳容收眼
底，一览众山万壑生
.
参考文献
：
［
1
］中华人民共和国教育部
.
义务教育数
学课程标准（
2011
年版）［
M
］
.
北京：
北京师范大学出版社，
2012.
［
2
］卜以楼
.
生长型构架下实数复习课的
教学实践与思考［
J
］
.
中学数学，
2016
（
06
）：
40-43
